زندگی با ریاضیات

تكامل مفهوم تابع حدود دو قرن به طول انجاميد . ديريكله ، رياضي دان آلماني( 1859 – 1805 م )، در اواسط قرن نوزدهم تعريف امروزي تابع را به صورتي روشن بيان كرد و گفت : « y تابعي از متغير x در بازه a < x < b است؛ به شرطي كه هر مقدار x از اين بازه با مقدار معين و مشخص از y ‌متناظر باشد ؛ البته، اين تناظر مي تواند به هر ترتيب دلخواهي باشد.»

پيش از اين تعريف ، براي نخستين بار ، مقدار متغير ( تابع ) در قرن هفدهم و در نوشته هاي هندسي فرما ( 1655 – 1601 م ) و دكارت ، رياضيدان فرانسوي ، مطرح شد .براي مثال ، دكارت در كتاب هندسه خود مفهوم تابع را به عنوان " تغيير عرض در نتيجه تغيير طول " بررسي مي كند.

در قرن هجدهم يوهان برنولي ( 1748- 1667 م ) ديدگاه جديدي را نسبت به تابع مطرح مي كند . او مي گويد : « تابع به عنوان دستوري است كه مقدار يك متغير را با مقدار متغير ديگر در نظر مي گيرد.»

در سال 1748 لئوناردا ويلر ، شاگرد يوهان برنولي ، نماد f) Function) را براي تابع در نظر گرفت و آن را از ديدگاه تحليلي به صورت زير مطرح كرد:

« تابع يك متغير ، عبارت است از يك عبارت تحليلي كه به نحوي از اين مقدار متغير و از عددها يا مقدارهاي ثابت تشكيل شده است.»

بنابراين، رياضيدانان پس از گذشت دو قرن توانستند مفهوم تابع را به صورت امروزي آن كامل كنند. پس چه بهتر است ما معلمان اين مفهوم را با حوصله بيشتري براي دانش آموزان مطرح كنيم. استدلال هاي شهودي تا حدود زيادي مي توانند به ما كمك كنند.

معرفي مفهوم تابع با شهود

همان طور كه گفتيم تعريف تابع به صورت امروزي بين رياضيدانان رايج نبود بلكه همه آنان تصوير ذهني مشتركي از اين مفهوم داشتند. چه بهتر كه براي تدريس مفهوم تابع از آن تصور ذهني مشترك رياضي دان ها استفاده كنيم و دانش آموزان را مانند رياضيدان ها با مفهوم تابع درگير كنيم تا در مرحله آخر خودشان به تعريف امروزي تابع برسند.

تصور ذهني مشترك همه رياضيدان ها اين بود كه تابع مانند يك ماشين عمل مي كند ، به طوري كه يك x را از ورودي مي گيرد و تنها يك مقدار y از خروجي بيرون مي دهد. پس مي توان ابتدا از مدل زير براي بيان مفهوم تابع استفاده كرد:

چون ماشين f عملي را روي x انجام مي دهد، مي توان عمل انجام شده روي x را با (f(x نمايش داد . بنابراين مي توان در خروجي به جاي y از نماد (f (x استفاده كرد:

مثال روزمره از تابع

قيمت نان را معمولا بر حسب قيمت هر كيلوگرم آرد محاسبه مي كنند . جدول 1 قيمت گذاري نان را در سال هاي 1358 تا 1382 نشان مي‌دهد:

بيشتر كاربردهاي رياضي مستلزم استفاده از عددها و متغيرها براي بيان رابطه هاي موجود در دنياي واقعي اطراف ما و زندگي روزمره است . با توجه به جدول 1، فرض كنيم قيمت هر كيلوگرم آرد در سال هاي مشخص شده x ريال و قيمت نان در سال متناظر با آن y ريال باشد . در اين صورت جدول 1رابطه اي را بين x و y بيان مي كند . اين رابطه ، نمونه اي از تابع رياضي است . زيرا براي هر x ( قيمت هر كيلوگرم آرد ) فقط يك قيمت متناظر y ( قيمت نان ) وجود دارد كه براي خريد هر عدد نان پرداخت مي شود . در حقيقت جدول بالا قاعده اي را براي محاسبه قيمت نان در سال هاي مختلف نشان مي دهد . با كمي دقت در اين جدول مي توانيد رابطه x ( قيمت هر كيلوگرم آرد ) و y ( قيمت هر عدد نان ) را بيان كنيد . اين رابطه، قاعده اي را نشان مي دهد كه ضابطه تابع ناميده مي شود.

حالا آيا مي توانيد حدس بزنيد كه اگر در سال 1386 قيمت آرد 3 هزار ريال باشد، قيمت هر عدد نان در آن سال چقدر خواهد بود ؟ يا اگر قيمت نان در يك سال 5 ريال باشد ، قيمت آرد در آن سال چقدر خواهد بود ؟ آيا مي توانيد رابطه x و y را با نماد رياضي بنويسيد ؟

تعريف تابع قيمت نان

تابع f ، قاعده اي است كه روي مجموعه D تعريف مي شود به طوري كه به هر x متعلق به D ، يك عدد مشخص f(x) را نسبت مي‌دهد.

عدد f(x) ، مقدار تابع f را به ازاي x نشان مي دهد . كلمه قاعده كه در تعريف بالا به آن اشاره شد،‌مي تواند با يك جدول ، ‌يك فرمول ، يك نمودار يا حتي با يك جمله مشخص شود. به طوري كه با استفاده از آن ،‌ مقدار f(xي x داده شده مشخص مي شود . معمولا از x براي نشان دادن متغير و از f براي نشان دادن تابع استفاده مي كنيم.

همچنين مي توانيم از حروف ديگري كه دوست داريم يا در وضعيت خاصي مناسب تر است، استفاده كنيم.

در تابع قيمت نان كه ذكر كرديم، مجموعه D از همه مقادير ممكن براي قيمت هر كيلوگرم آرد در سال هاي مختلف تشكيل شده است:

D = {50، 100، 200، 1000، 1500، 2000}  

كه آن ها را با x مشخص كرديم . با معلوم بودن x در ستون دوم جدول، به راحتي مي توان قيمت متناظر هر عدد نان يعني f(x) را از ستون سوم پيدا كرد . بنابراين داريم :

10= (50) f

20= (100) f

40= (200) f

100= (500) f

200= (1000) f

300= (1500) f

400= (2000) f

با توجه به برابري هاي بالا ملاحظه مي كنيد كه قيمت نان در حقيقت يك پنجم قيمت آرد است و اين همان قاعده اي است كه قيمت گذاري هر عدد نان را بر حسب قيمت هر كيلوگرم گندم نشان مي دهد ، بنابراين : x 5/1 = f(x. به اين قاعده، ضابطه تابع گفته مي شود. مي توانيم براي نشان دادن تابع قيمت نان ، اطلاعات جدول 1را با نمودار زير نشان دهيم .

در زندگي روزمره مي توان مثال هاي فراوان ديگري را براي بيان مفهوم تابع بيان كرد . براي مثال نمره درس رياضي دانش آموزان ، تابعي از مدت زمان مطالعه آنها است .

مثال زيست شناختي تابع

وزن طبيعي هر شخص مي تواند تابعي از طول قد همان شخص باشد ( مجذور قد بر حسب متر * 22= وزن طبيعي بر حسب كيلوگرم ) . مدت زمان ترميم يك زخم در بدن ، تابعي از ساخت سلول هاي جديد و ساخت سلول هاي جديد تابعي از پروتئين هاي لازم براي ساخت سلول هاست .

مثال رياضي تابع

مساحت ( A ) دايره اي به شعاع r از قاعده A= p r 2 به دست مي آيد :

به طور معمول اين فرمول را با نماد تابعي به صورت A(r)= p r 2 مي نويسيم تا مشخص شود ، مساحت دايره A ، به شعاع دايره r وابسته است . هر چه شعاع بزرگ تر شود ، مساحت بزرگ تر مي شود . بنابراين شعاع، هر عدد دلخواه نامنفي مي تواند باشد ، اما مساحت همواره به شعاع دلخواه مستقل وابسته است . از اين رو، شعاع يعني متغير r را در اين تابع متغير مستقل و A را متغير وابسته مي گوييم .

مثال فيزيكي تابع

اگر سنگ ريزه اي از بالاي برجي به طرف پايين رها شود و شتاب جاذبه 9.8/s 2 = g باشد ، در اين صورت سرعت( به طرف پايين ) V بعد از t ثانيه و فاصله پيموده شده d از موقع رها شدن پس از t ثانيه ، از رابطه هاي زير به دست مي آيد :

V(t)= 9.8t

d(t)= 4.9t 2

همان طور كه ملاحظه مي كنيد V و d هر دو تابع هايي از t هستند . در اين دو تابع t متغير مستقل و v و d هر دو متغيرهاي وابسته به t هستند .

تركيب دو تابع

تابع وارون

تابه وارون f تابعي است كه عمل f را خنثي مي كند ، پس -1 (x)=x fof

مثال : تابع وارون تابع ها باضابطه هاي زير را به دست آوريد .

حد تابع در يك نقطه

حد تابع در يك نقطه را در دو حالت بررسي مي كنيم .

1- تابع در نقاط توپر داراي حد است فرض كنيم ( x,y ) A نقطه اي از نمودار تابه با ضابطه y=f(x) باشد ، حد تابع f در نقطه اي به طول x برابر با y است .

2- وضعيت حد تابع در نقاط توخالي به صورت زير است :

الف ) اگر نمودار f در سمت چپ نقطه توخالي موجود باشد ، آن گاه تابع در اين نقطه داراي حد چپ است .

ب ) اگر نمودار تابع f در سمت راست نقطه توخالي موجود باشد ، آن گاه تابع در اين نقطه داراي حد راست است .

ج) اگر نمودار تابع در دو طرف نقطه توخالي موجود باشد ، يعني نمودار تابع در نقطه توخالي بريدگي نداشته باشد ، آن گاه تابع در اين نقطه داراي حد راست و چپ برابر است كه در اين حالت مي گوييم ، تابع در اين نقطه داراي حد است .

پيوستگي تابع در يك نقطه

نمودار تابع y=f(x را در نظر  مي‌گيريم:

• نقطه توپر را مقدار تابع مي گوييم.

• اگر حد چپ و مقدار در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تا بع در آن نقطه پيوستگي چپ دارد.

• اگر حد راست و مقدار تابع در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن نقطه پيوستگي راست دارد.

• اگر مقدار تابع و حد تابع در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن نقطه پيوسته است.

مشتق پذيري تابع در يك نقطه

تابع f در x مشتق پذير است ، هر گاه:

الف ) تابع f در x پيوسته باشد.

ب ) در نقطه x فقط و فقط يك خط مماس بر منحني تابع f وجود داشته باشد . (اين خط مماس بايد موازي محور عرض ها نباشد)

سؤال : تابع f در چه نقاطي مشتق پذير نيست ؟

الف ) در نقاطي كه تابع در آن ها ناپيوسته باشد .

ب ) در نقاطي كه دو خط مماس بر منحني f وجود داشته باشد. ( نقطه زاويه دار منحني )

ج ) در نقاطي كه خط مماس بر منحني f موازي محور عرض ها باشد.

تابع اكيدا صعودي و نزولي

تابع پيوسته f را وقتي اكيدا صعودي مي گوييم كه هر گاه روي شكل از چپ به راست حركت كنيم ، هميشه به طرف بالا برويم.

تابع پيوسته f را اكيدا نزولي گوييم كه هر گاه رو شكل از سمت چپ به راست حركت كنيم ، هميشه به طرف پايين برويم.

تابع صعودي و نزولي

تابع پيوسته f را وقتي صعودي گوييم كه هر گاه روي شكل از سمت چپ به راست حركت كنيم ، هميشه به طرف بالا برويم يا موازي محور x ها حركت كنيم .

تابع يوسته f را وقتي نزولي مي گوييم كه هر گاه روي شكل از سمت چپ به راست حركت كنيم ، هميشه به طرف پايين بر.يم يا موازي محور x ها حركت كنيم.

اكسترمم نسبي تابع

• نقطه اي به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه ماكزيمم نسبي تابع f گوييم ، هر گاه:

الف ) در همسايگي x نمودار تابع f موجود باشد.

ب ) عرض نقطه x بزرگ تر يا مساوي با عرض نقطه همسايگي باشد.

• نقطه اي به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه مي نيمم نسبي تابع f گوييم ، هر گاه:

الف ) در همسايگي x نمودار تابع f موجودد باشد.

ب ) عرض نقطه x كوچك تر يا مساوي با عرض نقطه همسايگي باشد.

اكسترمم مطلق تابع

بالاتر نقطه نمودار تابع را ماكزيمم مطلق و پايين ترين نقطه نمودار f را مي نيمم مطلق تابع مي‌وييم.

تذكر : اگر اكسترمم مطلق ،‌همسايگي داشته باشد ، آن گاه اكسترمم نسبي تابع هم خواهد بود.

منبع:سایت ریاضیات و فیزیک