زندگی با ریاضیات

 لم: در ردیف n ام(...,3 ,2 ,1 ,0=n) این مثلث،عنصر k ام(nو...و2و1و0=k) به صورت  است.

برای اثبات این موضوع ،ابتدا توجه می کنیم که برای ، داریم :.

اکنون با استفاده از رابطه ی (1) و به کمک استقرا ، لم اثبات می شود.(جزئیات به عهده ی خواننده).

بنابراین می توان مثلث خیام - پاسکال را به صورت زیر در نظر گرفت: 

قضیه:در مثلث خیام - پاسکال از ردیف سوم به بعد ،هیچ دو عنصر مخالف با 1 در یک ردیف ، نسبت به هم اول نیستند.
ابتدا توجه می کنیم که برای   داریم :

مساله: آیا می توانید رابطه ی (2) را با یک بحث ترکیبیاتی اثبات کنید.
حال نشان می‌دهیم که برای 0k>m داریم : .
فرض کنیم این طور نباشد،یعنی 1=()  با توجه به رابطه ی (2)، عاد می‌کند را  .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقلیدس عاد می‌کند را، ولی این ممکن نیست چرا که .

به این ترتیب ، قضیه اثبات می شود.